domingo, 6 de enero de 2013
Sistema de ecuaciones con dos incognitas
Es la unión de dos o más ecuaciones que deben satisfacerse para los mismos valores de las incógnitas, este sistema se puede solucionar a través de una serie de normas especificadas
y con sus debidas leyes y pueden solucionarse por:
metodo de igualacion
metodo de sustitucion
metodo de eliminacion o reduccion
etc.
Factorización por metodo de trinomio con término en comun
Para resolver una ecuación cuadrática completa por este método se requiere que la ecuación esté escrita en su forma general . Este método consiste en descomponer en factores dicha expresión, y después cada factor se iguala a cero y se resuelve cada ecuación para “x”.
Se acomoda la ecuación en su forma general
Se buscan dos números que multiplicados den como resultado el coeficiente del tercer término.
Los números encontrados (M) (N) que sumados algebraicamente den como resultado el coeficiente del segundo término.
Se forman dos binomios con los números M y N y que tengan como término en común a la “x”.
Cada binomio se iguala a cero y se obtienen los valores de x.
Se acomoda la ecuación en su forma general
Se buscan dos números que multiplicados den como resultado el coeficiente del tercer término.
Los números encontrados (M) (N) que sumados algebraicamente den como resultado el coeficiente del segundo término.
Se forman dos binomios con los números M y N y que tengan como término en común a la “x”.
Cada binomio se iguala a cero y se obtienen los valores de x.
Metodo de solucion por determinantes
Un determinante está constituido
por columnas y renglones. Cuando un determinante tiene el mismo número de
renglones que de columnas , decimos que es un determinante cuadrado y si un
arreglo de este tipo tiene dos renglones y dos columnas, decimos que es de
segundo orden.
Metodo de solucion de eliminacion
El método de eliminación también
recibe el nombre de "método de suma y resta" y consiste en hacer una
ordenación de las ecuaciones respecto a las variables que contienen, dejando en
el miembro derecho de las ecuaciones el término constante, después, se suman o
restan de manera vertical a fin de que se elimine una variable a la vez
encontrando el valor de la variable que permanezca una después de hecha la
eliminación.
En el sistema que se muestra a continuación las
variables ya están ordenadas:
4x + 7y = 41 (1)
6x - 4y = 18 (2)
De manera que multiplicando la primera ecuación por 6 y la
segunda por -4, se obtiene:
6 (4x + 7y = 41) = 24x + 42y = 246
-4 (6x - 4y = 18) = -24x + 16y = -72
Sumando de manera vertical los productos obtenidos, se consigue que:
24x + 42y = 246
-24x + 16y = - 72
-------------------------
58y = 174
De manera que:
58y = 174
y = 174/58
y = 3
6 (4x + 7y = 41) = 24x + 42y = 246
-4 (6x - 4y = 18) = -24x + 16y = -72
Sumando de manera vertical los productos obtenidos, se consigue que:
24x + 42y = 246
-24x + 16y = - 72
-------------------------
58y = 174
De manera que:
58y = 174
y = 174/58
y = 3
El procedimiento ahora se repite para encontrar el valor de
x, de manera que se debe eliminar "y" del sistema original por lo que
se multiplica la primera ecuación por 4 y la segunda por 7, para obtener:
4 (4x + 7y = 41) = 16x + 28y = 164
7 (6x - 4y = 18) = 42x - 28y = 126
Sumando de manera vertical los resultados obtenidos, se consigue que:
16x + 28y = 164
42x - 28y = 126
------------------------
58x = 290
De manera que:
58x = 290
x = 290/58
x = 5
La solución es también: x = 5 ^ y= 3
4 (4x + 7y = 41) = 16x + 28y = 164
7 (6x - 4y = 18) = 42x - 28y = 126
Sumando de manera vertical los resultados obtenidos, se consigue que:
16x + 28y = 164
42x - 28y = 126
------------------------
58x = 290
De manera que:
58x = 290
x = 290/58
x = 5
La solución es también: x = 5 ^ y= 3
Metodo de solucion de transposicion o sintetico
Es posible hacer e mismo procedimiento, es decir determinar el valor de la litera ahorrando una cantidad significativa de pasos:
4x-7=19
4x=9+7
4x=16+x=16/4
X=4
4(4-7)=9
16-7=9
9=9
4x-7=19
4x=9+7
4x=16+x=16/4
X=4
4(4-7)=9
16-7=9
9=9
Metodo de solucion de sustitucion
El método de sustitución consiste en despejar en una de las
ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor
coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su
valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
Metodo de solucion de Igualacion
- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con una incógnita.
- Se resuelve la ecuación.
- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos expresiones en las que aparecía despejada la otra incógnita.
- Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.
Metodo de solucion Formal
Consiste en expresar cada uno de los pasos para resolver la ecuación y enunciar a raíz por la que se hizo.
6x – 5 =15
6x – 5 + 5 = 15 + 5
6x/6 = 20/6
Comprobación:
6x – 3 – 5
6(10/3)-5 = 15
20 – 5 =5
15 = 15
6x – 5 =15
6x – 5 + 5 = 15 + 5
6x/6 = 20/6
Comprobación:
6x – 3 – 5
6(10/3)-5 = 15
20 – 5 =5
15 = 15
Sistema de ecuaciones
En un sistema de ecuaciones algebraicas las
incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo
sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación
diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto
definido de antemano.
Una solución de dicho sistema es por tanto,
un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que
éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En
otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir
la igualdad del sistema.
Las incógnitas se suelen representar
utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con
subíndices.
El triangulo de Pascal
Este triangulo nos da los coeficientes que se deben
de poner en cada uno de los términos que aparecen al desarrollar el binomio
Cuando desarrollamos la suma de dos cantidades todos
los signos de mis términos serán positivos y en caso contrario se irán
alterando un positivo y un negativo
Se construye de la siguiente manera:
Se construye de la siguiente manera:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Productos Notables Y Factorizacion
Son
productos que se pueden resolver mediante formulas prestablecidas, es decir que
se resuelven con simple inspección sin
necesidad de ser desarrolladas en su totalidad.
Entre
los productos notables más comunes encontraremos los siguientes
1.-Binomios al cuadrado: El cuadrado de la suma de dos cantidades o el cuadrado de la diferencia de dos cantidades
1.-Binomios al cuadrado: El cuadrado de la suma de dos cantidades o el cuadrado de la diferencia de dos cantidades
Es
igual al cuadrado de la primera cantidad mas el doble producto de la primera
cantidad por la segunda mas el cuadrado de la segunda cantidad
2.-Producto
de la suma por la diferencia de dos cantidades
Es
igual al cuadrado de la primera cantidad menos el doble producto de la primera
por la segunda cantidad mas el cuadrado de la segunda cantidad
3.-
Producto de dos binomios con un término común
Es
igual al cuadrado del termino común mas el producto de la suma de los no
comunes por el común mas el producto de los no comunes
4.-
Binomios al cubo: El cubo de la suma de dos cantidades o el cubo de la
diferencia de dos cantidades
Es
igual al cubo de la primera cantidad mas el triple producto de el cuadrado de
la primera cantidad por la segunda mas el triple producto de la primera
cantidad por la segunda mas el triple producto de la primera cantidad por el
cuadrado de la segunda mas el cubo de la segunda cantidad
5.-
Binomios elevados a la potencia N: La enésima potencia de la suma de dos
cantidades o la enésima potencia de la diferencia de dos cantidades
La
forma de representar un binomio a la enésima potencia es la siguiente:
(a+b)n = (a+b)( a+b) (a+b) (a+b)……
Sin
embargo el desarrollar estas operaciones es complicado ya que se tienen que
realizar muchas operaciones y para simplificar estas operaciones utilizamos el
llamado triangulo de pascal.
Multiplicacion y Division de Radicales
Para
realizar estas operaciones es necesario hacer uso de las leyes de los
exponentes y radicales
3√5 3√7= 3√5.7=
3√35
3√5 =
3√5/7
3√5
3√5 √5 = 51/3 . 51/2 =
51/3+1/2 = 55/6
Suma y Resta de Radicales
Para
realizar estas operaciones es necesario que los radicales sean semejantes es
decir que tenga el mismo índice y radicando
Por ejemplo:
Por ejemplo:
7√5
+ 5√5 = 12√5
-53√3
+ 83√3 = 33√3
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